7.1.1 解析变换的保域性
7.1.2 解析变换的保角性
7.1.3 解析变换的保形性
7.1.1解析变换的保域性
定理7.1 (保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且
不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.
证 首先证明G的每一点都是内点.
设w0∈G,则有一点z0∈D,使w0=f(z0).
要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G,
即当w*与w0
充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.
为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)
由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,
显然 f(z0)-w0=0,
使得f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)
C及C的内部全含于D,
均不为零.因而在C上:
内的点w*及在C上的点z有
因此根据儒歇定理6.10,在C的内部
与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解.
由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:z=z(t) [t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是:
就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线.
从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到
对在邻域
其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来.
一条连接w1,w2,内接于 且完全含于G的折线 1
证: 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.
总结以上两点,即知G=f(D)是区域.
定理7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域.
注 定理7.1可以推广成这样的形式:"w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域.
结合定理7.2,合本定理条件的解析变换w=f(z)将z0的一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.
定理7.3 设函数w=f(z)在点z0解析,且f (z0)≠0,则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.
7.1.2 解析变换的保角
——导数的几何意义
设w=f(z)于区域D内解析,z0∈D,在点z0有导数
通过z0任意引一条有向光滑曲线
C:z=z(t)(t0≤t≤t1),z0=z(t0).
因此C在z0有切线,
就是切向量,
经变换w=f(z)
的参数方程应为
则
且
必存在
它的倾角为
C
x
0
y
z
w=f(z)
u
v
0
w
z0
w0

C之象曲线
C
x
0
y
z
z0
z0+ z
图7.1
由定理7.3及第三章习题(一)13, 在点w0=w(t0)的邻域内
w=f(z)
是光滑的.又由于
故 在w0=f(z0)也有,
u
v
0
w
w0

w0+ w
设其倾角为 ,则
且
就是切向量,
切线
(7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的
如果我们假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解为原曲线经过变换后的旋转角,则:
(7.1)说明:象曲线 在点w0=f(z0)的切线正向,可由原曲线C在点z0的切线正向旋转一个角度argf'(z0)得出:argf'(z0)仅与z0有关,而与经过Z0的曲线C的选择无关,称为变换w=f(z)在点z0的旋转角
——导数辐 角的几何意义.
无穷小距离之比的极限是R=|f'(z0)|,它仅与
z0有关,而与过z0的曲线C之方向无关,称为
变换w=f(z)在点z0的伸缩率.这也就是导数模
的几何意义.
上面提到的旋转角与C的选择无关的这个
性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关
这个性质,称为伸缩率不变性.
从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩
率不变性就表示w=f(z)将z=z0处无穷小的圆5变
成w=w0处的无穷小的圆,其半径之比为|f'(z)|.
上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的
地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.
经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向
所构成的角称为两曲线在该点的夹角.
定义7.1 若函数w=f(z)在点z0的邻域内有
定义,且在点z0具有:
(1)伸缩率不变性;
(2)过z0的任意两曲线的 夹角在变换w=f(z)
下,又保持方向;
则称函数w=f(z)在点z0是保角的.或称w=f(z)在
点z0是保角变换.如果w=f(z)在区域D内处处都
是保角的,则称w=f(z)在区域D内是保角的,或
称w=f(z)在区域D内是保角变换.
定理7.4 如w=f(z)在区域 D内解析,则它
在导数不为零的点处是保角的.
推论7.5 如w=f(z)在区域D内单叶解析,则称
w=f(z)在区域D内是保角的.(由定理6.11,在D内f'(z)≠0.)
7.1.3 解析变换的保形性
定义7.2 如果w=f(z)在区域D内是单叶且保
角的,则称此变换w=f(z)在D内是保形的,也称它
为D内的保形变换.
定理7.6 设w=f(z)在 区域D内单叶解析.则
(1)w=f(z)将D保形变换成区域G=f(D).
(2)反函数 在区域G内单叶解析,且
证 (1)由推论7.2G是区域,由推论7.5及
定义7.2,w=f(z)将D保形变换成G.
(2)由定理6.11,f'(z0)≠0(z0∈D),又因w=f(z)
是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变
换.于是,当w≠w0时,z≠z0,即反函数
在区域D内单叶.故
由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,即
在D内满足C.-R.条件ux=vy,uy=-vx.
故
由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函
数x=x(u,v),y=y(u,v)在点w0=u0+iv0及其一个邻
域 内为连续.即在邻域 中,当w w0
时,必有
故
即
由于w0或z0的任意性,即知 在区域G内解析.